柯西中值定理

  	      	      	    	    	      	    
目录
 
 
1 什么是柯西中值定理
 
2 柯西中值定理的证明
 
 
 
什么是柯西中值定理
 
　　柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。 
　　如果函数 f(x) 及 g(x) 满足 
　　在闭区间 [a,b] 上连续； 
　　在开区间 (a,b) 内可导， 
　　对任意 ， 
　　那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b) 使等式成立。 
　　其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。 
 
柯西中值定理的证明
 
　　首先，如果 g(a) = g(b)，由罗尔定理，存在一点  使得 g'(x0) = 0，与条件3矛盾。所以 。 
　　令 。那么  
　　 h 在 [a,b] 上连续， 
　　 h 在 (a,b) 上可导， 
　　 。 
　　由罗尔定理，存在一点  使得 h'(ξ) = 0。即 。命题得证。