极值定理
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在微积分中，极值定理是指如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在[a,b]内的c和d，使得：
对于所有![x\in [a,b]](/wiki/w/images/math/8/2/9/8290bddba5acf9822dcbf61f4ac67d1b.png)
。
一个相关的定理是有界性定理，它说明闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界。也就是说，存在实数m和M，使得：
对于所有。
极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。
我们来证明f的上界和最大值的存在。把这个结果应用于函数–f，也可推出f的下界和最小值的存在。
我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。证明极值定理的基本步骤为：
证明有界性定理。
寻找一个序列，它的像收敛于f的最小上界。
证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。
假设函数f在区间[a,b]内连续且没有上界。那么，根据实数的阿基米得公理，对于每一个自然数n，都存在[a,b]内的一个xn，使得f(xn) > n。这便定义了一个序列{xn}。由于[a,b]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在{xn}的一个收敛的子序列{
}。把它的极限记为x。由于[a,b]是闭区间，它一定含有x。因为f在x处连续，我们知道{f()}收敛于实数f(x)。但对于所有的k，都有f() > nk ≥ k，这意味着{f()}发散于无穷大。得出矛盾。因此，f在[a,b]内有上界。证毕。
根据有界性定理，f有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M = f(d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界，M – 1/n就不是f的最小上界。因此，存在[a,b]内的dn，使得M – 1/n < f(dn)。这便定义了一个序列{dn}。由于M是f的一个上界，我们便有M – 1/n < f(dn) ≤ M，对于所有的n。因此，序列{f(dn)}收敛于M。
根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列{
}，它收敛于某个d，且由于[a,b]是闭区间，d位于[a,b]内。因为f在d处连续，所以序列{f()}收敛于f(d)。但{f()}是{f(dn)}的一个子序列，收敛于M，因此M = f(d)。所以，f在d处取得最小上界M。证毕。
以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是封闭和有界的。
定义在[0,∞)的函数f(x) = x没有上界。
定义在[0,∞)的函数f(x) = x/(1 + x)有界，但不取得最小上界1。
定义在(0,1]的函数f(x) = 1/x没有上界。
定义在(0,1]的函数f(x) = 1 –x有界，但不取得最小上界1。
如果把f的连续性减弱为半连续，则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立，且扩展的实数轴上的值–∞和+∞也可以允许为可能的值。更加精确地：
定理：如果函数f : [a,b] → [–∞,∞)是上半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有：
，
那么f有上界，且取得最小上界。
证明：如果对于[a,b]内的所有x，都有f(x) = –∞，那么最小上界也是–∞，于是定理成立。在任何其它情况下，只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中，f在x处的半连续性只意味着子序列{f()}的上极限有上界f(x) < ∞，但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中，f在d处的半连续性意味着子序列{f()}的上极限有上界f(d)，但这已足以推出f(d) = M的结论。证毕。
把这个结果应用于−f，可得：
定理：如果函数f : [a,b] → (–∞,∞]是下半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有：
那么f有下界，且取得最大下界。
一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。