本原元定理

  	      	      	    	    	      	    
本原元定理(Motohara Shimotojori) 
 
目录
 
 
1 什么是本原元定理
 
2 本原元定理的证明
 
 
 
什么是本原元定理
 
　　在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(α)的形式，即E可以由单个元素生成。 
　　一个有限扩张E/F有本原元，即存在α使得E = F(α)，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。 
 
 本原元定理的证明 
 
　　如果F是有限域，由于E / F是有限扩张，推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，E可以由这个生成元生成。所以在F是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。 
　　如果F是无限域，但是只有有限个中间域。 
　　先证明一个引理：假设E = F(α,β)并且E和F之间只有有限个中间域，那么存在一个使得E = F(γ)。引理的证明如下：当c取遍F的时候，对于每一个c可以做一个中间域F(α + cβ)。但是由假设，只有有限个中间域，因此必定存在使得F(α + c1β) = F(α + c2β)。由于α + c1β,α + c2β都在这个域里，推得(c1 − c2)β也在这个域里。由于，推得β在这个域里，于是α也在这个域里，因此，于是E = F(α + c1β)。引理证毕。 
　　　由于有限扩张总是有限生成的，推得E = F(α1,α2,...,αn)（对于）。利用归纳法以及引理可以得出，如果E / F之间只有有限个中间域，那么E可以由单个元素生成。 
　　而如果E = F(α)，假设f(x) = irr(α,F,x)是α在F上的极小多项式，K是任意一个中间域，gK(x) = irr(α,K,x)是α在K上的极小多项式。显然gK(x) | f(x)。由于域上的多项式环是唯一分解环，f(x)只有有限个因子。而对于每一个gK(x) | f(x)，如果gK(x)写作，并令K0 = F(c1,c2,...,cn)。显然K0是K的一个子域，因此gK(x)在K0上依然是不可约多项式|不可约的。而同时E = F(α) = K(α) = K0(α)，因此可以得到。这样立即推K0 = K，于是任何一个中间域K对应唯一的一个f(x)的因子gK。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的，因此中间域个数有限。证毕。