最大盈亏功

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什么是最大盈亏功^[1]

　　最大盈亏功是指机械在变速稳定运转的一个周期内，动能的最大值和最小值之间的驱动功与阻抗功之差。

最大盈亏功的确定^[2]

　　计算飞轮转动惯量必须首先确定最大盈亏功。若给出作用在主轴上的驱动力M'和阻力矩M”的变化规律， $A m a x$ 便可确定如下：

　　图1(a)所示为某组稳定运转一个周期中，作用在主轴上的驱动力M'和阻力M”随主轴转角变化的曲线。μM为力矩比例尺，实际力矩值可用纵坐标高度乘以μM得到，即M=yμM； $\mu_\varphi$ 为转角比例尺，实际转角等于横坐标长度乘以 $\mu_\varphi$ ，即 $\varphi=x\mu_\varphi$ ； $M'-\varphi$ 曲线与横坐标轴所包围的面积表示驱动力矩所做的功(输入功)； $M''-\varphi$ 曲线与横坐标轴所包围的面积表示阻力矩所做的功(输出功)。在Oa区间，输入功与输出功之差为 $A_{0a}=\int_0^a(M'-M'')d\varphi= \int_0^a\mu M(y'-y'')dx\mu_\varphi=\mu_M\mu_\varphi[S_1]$

　　式中 $[S 1]$ ——0a区间 $M'-\varphi$ 与 $M''-\varphi$ 曲线之间的面积( $m m 2$ )；

　　 $A O a$ ——区间的盈亏功，以绝对值表示。

　　由图可见，0a区间阻力矩大于驱动力矩，出现亏功，机器动能减小，故标注负号；而ab区间驱动力矩大于阻力矩，出现盈功，机器动能增加，故标注正号。同理，bc、d0区间为负，cd区间为正。

　　盈亏功等于机器动能的增减量。设

E 0

为主轴角位置 $\varphi _0$ 时机器的动能，则主轴角位置为 $\varphi _a$ 时，机器的动能

E a

应为 $E_a=E_0-A_{0a}=E_0-\mu_M\mu_\varphi[S_1]$ $E_b=E_a-A_{ab}=E_a-\mu_M\mu_\varphi[S_2]$ …… $E_0=E_d-A_{d0}=E_d-\mu_M\mu_\varphi[S_5]$ 　　以上动能变化也可用能量指示图表示。如图1(b)所示，从点0出发，顺次作向量 $\vec{0a}$ 、 $\vec{ab}$ 、 $\vec{bc}$ 、 $\vec{cd}$ 、 $\vec{d0}$ 表示盈亏功

A 0 a

、

A a b

、

A b c

、

A c d

和

A d 0

(盈功为正，箭头朝上；亏功为负，箭头朝下)。由图可知，点d具有最大动能，对应于

ω m a x

，点a具有最小动能，对应于

ω m i n

，a、d二位置动能之差即是最大盈亏功

A m a x

。

　　【例17．1】某机组作用在主轴上的阻力矩变化曲线 $M''-\varphi$ 如图2(a)所示。已知主轴上的驱动力M'为常数，主轴平均角速度 $\omega_m=25rad\cdot s^{-1}$ ，机械运转速度不均匀系数 $δ = 0.02$ 。

　　(1)求驱动力矩M'。

　　(2)求最大盈亏功 $A m a x$ 。

　　(3)求安装在主轴上的飞轮转动惯量J。

　　(4)若将飞轮安装在转速为主轴3倍的辅助轴上，求飞轮转动惯量f'。

　　【解】(1)求M'。因给定M'为常数，故 $M'-\varphi$ 为一水平直线。在一个运动循环中驱动力矩所做的功为2πM'，它应当等于一个运动循环中阻力矩所做的功，即

　　2πM'=100×2π+400× $\frac{\pi}{4}$ ×2

解上式得M’=200 N·m。由此可作出 $M'-\varphi$ 的水平直线。

　　(2)求

A m a x

。将 $M'-\varphi$ 与 $M''-\varphi$ 曲线的交点标注为a、b、c、d。将各区间 $M'-\varphi$ 与 $M''-\varphi$ 所围面积区分为盈功和亏功，并标注“+”号或“-”号。然后根据各区间盈亏功的数值大小按比例作能量指示图(图2(b))。首先自下向上作 $\vec{0a}$ 表示0a区间的盈功， $A_{0a}=100\times \frac{\pi}{2} N \cdot m$ ；其次，向下作 $\vec{ab}$ 表示ab区间的亏功， $A_{ab}=300\times \frac{\pi}{4} N \cdot m$ 。依次类推，直到画完最后一个封闭向量 $\vec{d0}$ 。由图可知，ad区间出现最大盈亏功，其绝对值为 $A_{max}=|-A_{ab}+A_{bc}-A_{cd}|=|-300\times \frac{\pi}{4}+ 100\times \frac{\pi}{2}-300\times \frac{\pi}{4}|=314.16N \cdot m$ 　　(3)求安装在主轴上的飞轮转动惯量J $J/(N \cdot m)=\frac{A_{max}}{\omega_m^2\delta }=\frac{314.16}{25^2\times 0.02}=25.13$ $kg\cdot m^2$ 　　(4)求安装在辅助轴上的飞轮转动惯量，令

ω' = 3ω m

，故 $J'/(kg \cdot m^2)=J(\frac{\omega_m}{\omega'})^2=25.13\times \frac{1}{9}=2.79$ $kg\cdot m^2$

参考文献

↑ 彭文生,杨家军,王均荣编.第十八章机械速度波动的调节机械设计与机械原理考研指南（上册）.华中科技大学出版社,2006.10.
↑ 宋宝玉主编;张锋,李笑,王洪祥副主编.第十七章机械动力学机械设计基础(修订版).哈尔滨工业大学出版社,2004年01月第2版.