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戴尔指数

戴尔指数（Theil Index）是一个衡量经济不平等的统计量，由计量经济学家亨利·戴尔导出的。

目录

1 数学公式
2 可分解性
3 参考

数学公式

其公式为

$T=\sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{\sum_{j=1}^N x_j} \cdot \ln{\frac{x_i}{\overline{x}}} \right)$

其中 $x i$ 为第 $i$ 个人的收入， $\overline{x}$ 为平均收入， $N$ 为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例，第二项为该个人相对于均值的收入。如果每一个人都有相同的收入，即等于均值，则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入，则指数为 $ln N$ 。

戴尔指数导自Claude Shannon的信息熵测度。设 $T$ 为戴尔指数， $S$ 为Shannon的测度，则有

$T = ln(N) - S$

Shannon根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。

可分解性

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为 $m$ 个子群体， $s k$ 为群体 $k$ 的收入比例， $T k$ 为该子群体的戴尔指数，而 $\overline{x}^k$ 为子群体 $k$ 的平均收入，则戴尔指数为

$T = \sum_{k=1}^m s^k T_k + \sum_{k=1}^m s^k \ln{\frac{\overline{x}^k}{\overline{x}}}$

因此，我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦斯曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数来得容易分解。

参考

德克萨斯大学戴尔指数简介（英文）