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帕累托分布

  	      	      	    	    	      	    

帕累托分布(Pareto distributions)

目录

什么是帕累托分布

  帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。 是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。这个分布在经济学以外,也被称为布拉德福分布

  帕累托因对意大利20%的人口拥有80%的财产的观察而著名,后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则(80/20法则),后来进一步概括为帕累托分布的概念。

帕累托分布的概述

  19世纪末期,意大利经济学家维弗雷多·帕累托认为,贫与富的存在,既是经济问题,也有政治原因。

  帕累托在研究英国人的收入分配问题时发现,绝大部分社会财富最终总会流向少数人群;他还发现,某一部分人口占总人口的比例,与这一部分人所拥有的财富的份额具有比较确定的计量经济关系;进一步的研究证实,这种不平衡模式可以重复出现,甚至可以预测。经济学把这一社会财富的分布状态,称为“帕累托分布”。

  帕累托分布可以归纳为一个非常简洁的表述:通过市场交易,20%的人将占有80%的社会财富,如果交易可以不断进行下去,那么,“在因和果、努力和收获之间,普遍存在着不平衡关系,典型的情况是:80%的收获来自20%的努力;其他 80%的力气只带来20%的结果”。丹尼尔·贝尔在《帕累托分布与收入最大化》中进一步叙述到:“如果待分配的财富总量是100万元,人数为100人,那么我们会有这样一组对应的分配比例:排在前面的20个人,分得80万元;同理,这20人中的4个人,分得64万元;4个人中的1个人,分得50万元。”

  如果我们把这些数据用数学公式简单处理一下,就会显示一条收缩中的“财富曲线”以及一条发散中的“贫困曲线”。它的最终走向,是必然会“清零”的,也只有如此,“财富”中所包含的生产力因子才能重新释放出来。

  帕累托分布从经济学角度论证出,社会分配的“绝对的失衡”必然导致“绝对的贫困”,甚至导致“宗教末日审判”的来临,除非我们可以通过政治手段,人为地阻止财富向高端不断聚集,否则,贫富双方的利益冲突是不可避免的。

帕累托分布的函数

  帕累托分布

  图:帕累托分布 (xmin=1)

  在帕累托分布中,如果X是一个随机变量, 则X概率分布如下面的公式所示:

{\rm P}(X>x)=\left(\frac{x}{x_{\min}}\right)^{-k}

  其中x是任何一个大于xmin的数,xminX最小的可能值(正数),k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的:xmink。分布密度则为

p(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{if }x < x_{\min}; \\  \\ {k \; x_{\min}^k \over x^{k+1}}, & \mbox{if }x > x_{\min}. \end{matrix} \right.

  帕累托分布属于连续概率分布

  “吉普夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。 一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为 x_{\min} \; k  \over k-1 (如果 k \leq 1, 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差{x_{\min} \over k-1} \sqrt{k \over k-2} (如果 k \leq 2, 标准差不存在)。

被大致认为的帕累托分布

被认为大致是帕累托分布的例子有:

  • 在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之前,财富在个人之间的分布。
  • 甚至在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之后,财富在个人之间的分布。
  • 人类居住区的大小
  • 维基百科条目的访问
  • 接近绝对零度时,爱因斯坦凝聚的团簇
  • 在互联网流量中文件尺寸的分布
  • 油田的石油储备数量
  • 龙卷风带来的灾难的数量