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帕累托分布

  	      	      	    	    	      	    
帕累托分布（Pareto distributions） 
 
目录
  
 
 什么是帕累托分布 
 
　　帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。 是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。 
　　帕累托因对意大利20%的人口拥有80%的财产的观察而著名，后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则（80/20法则），后来进一步概括为帕累托分布的概念。 
 
 帕累托分布的概述 
 
　　19世纪末期，意大利经济学家维弗雷多·帕累托认为，贫与富的存在，既是经济问题，也有政治原因。 
　　帕累托在研究英国人的收入分配问题时发现，绝大部分社会财富最终总会流向少数人群；他还发现，某一部分人口占总人口的比例，与这一部分人所拥有的财富的份额具有比较确定的计量经济关系；进一步的研究证实，这种不平衡模式可以重复出现，甚至可以预测。经济学把这一社会财富的分布状态，称为“帕累托分布”。 
　　帕累托分布可以归纳为一个非常简洁的表述：通过市场交易，20%的人将占有80%的社会财富，如果交易可以不断进行下去，那么，“在因和果、努力和收获之间，普遍存在着不平衡关系，典型的情况是：80%的收获来自20%的努力；其他 80%的力气只带来20%的结果”。丹尼尔·贝尔在《帕累托分布与收入最大化》中进一步叙述到：“如果待分配的财富总量是100万元，人数为100人，那么我们会有这样一组对应的分配比例：排在前面的20个人，分得80万元；同理，这20人中的4个人，分得64万元；4个人中的1个人，分得50万元。” 
　　如果我们把这些数据用数学公式简单处理一下，就会显示一条收缩中的“财富曲线”以及一条发散中的“贫困曲线”。它的最终走向，是必然会“清零”的，也只有如此，“财富”中所包含的生产力因子才能重新释放出来。 
　　帕累托分布从经济学角度论证出，社会分配的“绝对的失衡”必然导致“绝对的贫困”，甚至导致“宗教末日审判”的来临，除非我们可以通过政治手段，人为地阻止财富向高端不断聚集，否则，贫富双方的利益冲突是不可避免的。 
 
 帕累托分布的函数 
 
　　帕累托分布 
　　图：帕累托分布 (xmin=1) 
　　在帕累托分布中，如果X是一个随机变量， 则X的概率分布如下面的公式所示： 
 
{\rm P}(X>x)=\left(\frac{x}{x_{\min}}\right)^{-k} 
 
　　其中x是任何一个大于xmin的数，xmin是X最小的可能值（正数），k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：xmin和k。分布密度则为 
 
p(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{if }x < x_{\min}; \\  \\ {k \; x_{\min}^k \over x^{k+1}}, & \mbox{if }x > x_{\min}. \end{matrix} \right. 
 
　　帕累托分布属于连续概率分布。 
　　“吉普夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。 一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为  x_{\min} \; k  \over k-1 (如果 k \leq 1, 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差为 {x_{\min} \over k-1} \sqrt{k \over k-2} (如果 k \leq 2, 标准差不存在)。 
 
 被大致认为的帕累托分布 
 
被认为大致是帕累托分布的例子有： 
 
  •  在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之前，财富在个人之间的分布。 
  •  甚至在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之后，财富在个人之间的分布。 
  •  人类居住区的大小 
  •  对维基百科条目的访问 
  •  接近绝对零度时，爱因斯坦凝聚的团簇 
  •  在互联网流量中文件尺寸的分布 
  •  油田的石油储备数量 
  •  龙卷风带来的灾难的数量