布丰投针问题

  	      	      	    	    	      	    
布丰投针问题（Buffon neddle ） 
 
目录
 
 
1 什么是布丰投针问题
 
2 布丰投针问题的解法
 
3 布丰投针问题的相关实验
 
 
 
 什么是布丰投针问题 
 
 
　　布丰投针问题是指18世纪布丰提出的问题：设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板（如图），现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。 
 
 布丰投针问题的解法 
 
　　设针的长度是，并行线之间的距离为t，x为针的中心和最近的并行线的距离，θ为针和线之间的锐角。 
　　的机率密度函数为。  
　　的机率密度函数为。 
　　x,θ两个随机变量互相独立，因此两者结合的机率密度函数只是两者的乘法|积： 
 
。 
 
　　当，针和线相交。 
　　求上式的积分，得针与线相交的机率： 
 
 
 
　　抛n支针，其中有h支针与线相交的机率是： 
 
 
 
　　由此可求得π： 
 
 
 
布丰投针问题的相关实验 
 
　　1901年意大利数学家Mario Lazzarini尝试进行此实验。他抛了3408次针，得到π的近似值为355/113。 
　　Lazzarini选取了一支长度是纹的距离的5/6的针。在这个情况，针和纹相交的机会是5/(3π)。如果想抛n次针而得到x次相交，π约等于。分母、分子少于五位数字，没有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式，得x = 113n / 213。 
　　为求x的值接近这个数，可以重复抛213次针，若有113次是成功的，便可终止实验，宣布这个方法求π值准确度不低；否则，就再抛213次针，希望共有226次成功……这次反复进行实验。Lazzarini做了次。