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巴拿赫不动点定理

  	      	      	    	    	      	    
巴拿赫不动点定理（Banach fixed-point theorem） 
 
目录
  
 
 什么是巴拿赫不动点定理 
 
　　巴拿赫不动点定理是指度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡•巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。 
 
巴拿赫不动点定理的内容
 
　　设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q < 1，使得对于所有X内的x和y，都有： 
　　d(T(x),T(y)) \le q\cdot d(x,y) 
　　那么映射T在X内有且只有一个不动点x * （这就是说，Tx *  = x * ）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x0开始，并定义一个迭代序列xn = Txn − 1，对于n = 1，2，3，……。这个序列收敛，且极限为x * 。以下的不等式描述了收敛的速率： 
　　d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0) 
　　等价地： 
　　d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)  
　　且 
　　d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*) 
　　满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。 
　　注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映像T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧空间，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。 
　　当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是恰当地定义X，使得T实际上把元素从X映像到X，也就是说，Tx总是X的一个元素。 
 
 巴拿赫不动点定理的证明 
 
　　选择任何x_0 \in (X, d)。对于每一个n \in \{1, 2, \ldots\}，定义x_n = Tx_{n-1}\,\!。我们声称对于所有的n \in \{1, 2, \dots\}，以下等式都成立： 
　　d(x_{n+1}, x_n) \leq q^n d(x_1, x_0)。 
　　我们用数学归纳法来证明。对于n = 1的情况，命题是成立的，这是因为： 
　　d(x_{1+1}, x_1) = d(x_2, x_1) = d(Tx_1, Tx_0) \leq qd(x_1, x_0)。 
　　假设命题对于某个k \in {1, 2, \ldots}是成立的。那么，我们有： 
 
  
 d(x_{(k + 1) + 1}, x_{k + 1})\,\! = d(x_{k + 2}, x_{k + 1})\,\! 
 
  = d(Tx_{k + 1}, Tx_k)\,\! 
 
  \leq q d(x_{k + 1}, x_k) 
 
  \leq q \cdot q^kd(x_1, x_0) 
 
  = q^{k + 1}d(x_1, x_0)\,\!。 
 
　　从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的n \in {1, 2, \ldots}，以上的命题都成立。 
　　设\epsilon > 0\,\!。由于0 \leq q < 1，我们便可以找出一个较大的N \in \{1, 2, \ldots\}，使得： 
　　q^N < \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}。 
　　利用以上的命题，我们便有对于任何m，n \in {0, 1, \ldots}以及m > n \geq N，都有： 
 
  
 d\left(x_m, x_n\right) \leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n) 
 
  \leq q^{m-1}d(x_1, x_0) + q^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + q^nd(x_1, x_0) 
 
  = d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^{m-n-1} q^k 
 
  < d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^\infty q^k 
 
  = d(x_1, x_0)q^n \frac{1}{1-q} 
 
  = q^n \frac{d(x_1, x_0)}{1-q} 
 
  < \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}\cdot\frac{d(x_1, x_0)}{1-q} 
 
  = \epsilon\,\!。 
 
　　第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中0 \leq q < 1，因此它收敛。以上表明\{x_n\}_{n\geq 0}是(X, d)\,\!内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设x^* = \lim_{n\to\infty} x_n。我们作出两个声明：第一，x^*\,\!是T\,\!的一个不动点，也就是说，Tx^* = x^*\,\!；第二，x^*\,\!是T\,\!在(X, d)\,\!中的唯一的不动点。 
　　为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的n \in \{0, 1, \ldots\}，都有： 
　　0 \leq d(x_{n+1}, Tx^*) = d(Tx_n, Tx^*) \leq q d(x_n, x^*)。 
　　由于当n \to \infty时，qd(x_n, x^*) \to 0，因此根据夹挤定理，可知\lim_{n\to\infty} d(x_{n+1}, Tx^*) = 0。这表明当n \to \infty时，x_n \to Tx^*。但当n \to \infty时，x_n \to x^*，且极限是唯一的；因此，一定是x^* = Tx^*\,\!的情况。 
　　为了证明第二个命题，我们假设y\,\!也满足Ty = y\,\!。那么： 
　　0 \leq d(x^*, y) = d(Tx^*, Ty) \leq q d(x^*, y)。 
　　由于0 \leq q < 1，因此上式意味着0 \leq (1-q) d(x^*, y) \leq 0，这表明d(x^*, y) = 0\,\!，于是根据正定性，x^* = y\,\!，定理得证。 
 
 巴拿赫不动点定理的逆定理 
 
　　巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的： 
　　设f:X\rightarrow X为一个抽象集合的映像，使得每一个迭代函数f^ n都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。