多项式矩阵

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什么是多项式矩阵

　　多项式矩阵是指数学中矩阵论里系数是多项式的方块矩阵。

　　给定自然数和系数环 $\mathbf{R}$ ，一个阶多项式矩阵为如下形式：

$A(\lambda)=[a_{i,j}(\lambda)]_{1\le i,j\le n}$ , $\forall 1\le i,j\le n$ , $a_{i,j}(\lambda)=\sum_{k=0}^{d_{i,j}}a_{i,j,k}\lambda^k\in R[\lambda]$ ，

　　其中 $d i, j$ 是每个多项式 $a i, j (λ)$ 的次数。

　　如果设其中最大的为d：

d = m a x d i, j

， $1\le i$ , $j\le n$

　　那么多项式矩阵也可以表达为：

$A=\sum_{k=0}^d \lambda^k[a_{i,j,k}]=\sum_{k=0}^d A(K)\lambda^k$ ， $1\le i,j\le n$

　　其中约定当 $k > d i, j$ 时， $a i, j, k = 0$ .

　　由于多项式矩阵也能被表达为以（数值）矩阵为系数的多项式，所以也被称为矩阵系数多项式。如果最高次系数矩阵 $A (d)$ 的行列式不为零，则称多项式矩阵为为正则多项式矩阵。所有阶多项式矩阵的集合记为 $\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R}\left[\lambda\right])$ 或 $\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R})\left[\lambda\right]$ 。前者表示所有以多项式为系数的阶方块矩阵的集合，后者表示所有阶方块矩阵为系数的多项式的集合。可以验证两者是同构的。

多项式矩阵的性质

　　由于多项式代数和矩阵代数的结构特性，环R上的所有阶多项式矩阵也构成一个代数(环论)。两个阶多项式矩阵可以互相加减、相乘，并且满足加法交换律和乘法分配律（不满足乘法交换律）。用与数值矩阵相同的方式可以定义多项式矩阵的初等变换、相似矩阵、等价关系（也称为“相抵”）、矩阵的秩以及行列式。

　　如果系数环是域，那么可以证明，所有的多项式矩阵都可以矩阵对角化|对角化。任何一个矩阵的秩的多项式矩阵，都可以相抵于一个对角多项式矩阵：

$a\operatorname{diag}(d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_r(\lambda),0,\cdots,0)$

　　其中的每个非零的对角元素 $d i (λ)$ 都是首一多项式，并且整除下一个对角元素 $d i + 1 (λ)$ 。这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型，所有的 $d i (λ)$ 被称为原多项式矩阵的不变因子。

　　如果将阶多项式矩阵看成以阶方块矩阵为系数的多项式，可以通过将其中的不定元替换为一个阶方块数值矩阵，而得到一个阶数值矩阵。这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换。由于矩阵乘法不满足交换律，所以替换分为左替换和右替换：

左替换：将 $\sum_{k=0}^dA(k)\lambda^k$ 替换为 $\sum_{k=0}^dB^k*A(k)$ 也记作 $P_l^A(B)$

右替换：将 $\sum_{k=0}^dA(k)\lambda^k$ 替换为 $\sum_{k=0}^dA(k)*B^k$ 也记作 $P_r^A(B)$

　　如果系数环是域，那么多项式矩阵之间可以做带余除法：如果 $A (λ)$ 和 $B (λ)$ 都是多项式矩阵，其中 $B(\lambda)\neq0$ ，那么唯一存在多项式矩阵 $Q (λ)$ 和 $R (λ)$ ，则 $A (λ) = B (λ) Q (λ) + R (λ)$ $R (λ)$ 作为多项式的次数严格小于 $B (λ)$ ，或者为零。

多项式矩阵的例子

　　所有的数值矩阵都是多项式矩阵，因为可以将每个元素看成一个零多项式。设系数环为实数域，以下是一个3阶多项式矩阵：

$P=\begin{pmatrix} 1&x^2&x\\ 0&2x&2\\ 3x+2&x^2-1&0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&2\\ 2&-1&0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&2&0\\ 3&0&0 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}x^2.$

　　特征矩阵是多项式矩阵的一个例子。设有阶数值矩阵，则特征矩阵实际上是一次多项式矩阵： $P_A(\lambda)=\lambda\mathbf{I}_n-A$ 。而特征矩阵的行列式 $\det\left(\lambda\mathbf{I}_n-A\right)$ 就是数值矩阵的特征多项式。

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多项式矩阵的性质

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