四分位差

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四分位差(Quartile Deviation)

什么是四分位差^[1]

　　四分位差又称内距、也称四分间距(inter-quartile range)，是指将各个变量值按大小顺序排列，然后将此数列分成四等份，所得第三个四分位上的值与第一个四分位上的值的差。

四分位差的公式^[1]

　　四分位差用公式表示：

　　 $Q = Q 3 - Q 1$

　　其中： $Q 1$ 的位置=(n+1)/4

　　 $Q 3$ 的位置=3(n+1)/4

　　四分位差若图所示：

四分位差的特点^[2]

　　四分位差反映了中间50%数据的离散程度。其数值越小，说明中间的数据越集中；数值越大，说明中间的数据越分散。与极差(最大值与最小值之差)相比，四分位差不受极值的影响。此外，由于中位数处于数据的中间位置，因此四分位差的大小在一定程度上也说明了中位数对一组数据的代表程度。

四分位差的适用范围^[2]

　　四分位差主要用于测度顺序数据的离散程度。当然，对于数值型数据也可以计算四分位差，但不适合于分类数据。

四分位差的计算

四分位差的计算方法^[3]

　　如果所给的数据资料不同，四分位差的具体计算方法也不同：

　　1．未分组数据

　　首先对数据进行排序，求出 $Q l$ 、 $Q 3$ 所在的位置；其次根据位置确定其对应的标志值即 $Q l$ 、 $Q 3$ ;最后计算二者差额的一半，即 $\frac{Q_l-Q_3}{2}$ 就是四分位差。

　　 $Q l$ 的位置= $\frac{n+1}{4}$

　　 $Q 3$ 的位置= $\frac{3(n+1)}{4}$

　　2．单项式数列

　　先计算各组的累计次数，然后确定分位点位置。

　　 $Q l$ 的位置= $\frac{\Sigma{f}}{4}$

　　 $Q 3$ 的位置= $\frac{{3}\Sigma{f}}{4}$

　　对于上面的两种情况，若(n+1)或 $Σ f$ 恰好为4的倍数，则计算出来的四分位数的位置就是整数，这时，各个位置上的变量值就是相应的四分位数；若(n+1)或 $Σ f$ 不是4的倍数，则按上面公式计算出来的四分位数的位次就可能带有小数，这时可根据插值法来计算上下四分位数。再按公式计算出四分位差。

　　假设样本容量为50时， $\frac{n+1}{4}$ =12．75， $\frac{3(n+1)}{4}$ =38．25，则按插值法可得：

　　 $\frac{X_{13}-Q_1}{X_{13}-X_{12}}=\frac{13-12.75}{13-12}$

　　整理得： $Q 1$ =0．25 $X 12$ +0．75 $X 13$

　　同样可得： $Q 3$ =0．75 $X 38$ +0．25 $X 39$

　　3．组距式数列

　　先计算上、下四分位的值，然后再计算四分位差。此时计算四分位数的基本原理与中位数相类似。计算公式如下：

　　 $Q_1=L_{Q_1}+\frac{\frac{\Sigma{f}}{4}-S_{Q_1-1}}{f_{Q_1}}$ × $d_{Q_1}$

　　 $Q_3=L_{Q_3}+\frac{\frac{{3}\Sigma{f}}{4}-S_{Q_3-1}}{f_{Q_3}}$ × $d_{Q_3}$

　　式中， $L_{Q_1}$ ， $L_{Q_3}$ ，分别代表下四分位和上四分位数所在组的下限； $S_{{Q_1}-1}$ ， $S_{{Q_3}-1}$ 分别代表下四分位和上四分位数所在组以下的累计次数； $f_{Q_1}$ ， $f_{Q_3}$ 分别代表下四分位和上四分位数所在组的次数。