一、利用翻折或旋转构造等边三角形和全等三角形结合四点共圆求角的度数。
【题目】
已知，在△ABC中，AB = AC ，∠BAC = 80°，点P 是△ABC内的一点，且∠PBC =10°，∠PCB = 20°，连接AP ，则∠BAP = °。
【本题考点】
轴对称（翻折），三角形的内角和定理，三角形的外角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一），等角的补角相等，全等三角形的判定与性质，四点共圆的判定、圆的基本性质（圆周角定理）。
【解析】
把△ACP沿AC翻折到△ACQ的位置，连接PQ、AQ、BQ ，延长BP交CQ 于点D 。
∵ AB = AC ，∠BAC = 80°，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 50°，
∵∠PBC = 10°，∠PCB = 20°，
∴ ∠ACP = ∠DPC = 30°，
∵ 翻折，
∴ △APC ≌ △AQC ，
∴ CP = CQ ，∠ACP = ∠ACQ = 30°，
∴ ∠PCQ = 60°，
∴ PQ = CP = CQ（即△CPQ是等边三角形），
∠QPC = 60°，
∴ ∠QPD = ∠DPC = 30°，
∴ ∠BPQ = ∠BPC = 150°，
在△BPQ 和△BPC 中，
BP = BP ，∠BPQ = ∠BPC ，PQ = PC ，
∴△BPQ ≌ △BPC（SAS）
∴ ∠QBP = ∠PBC = 10°，
∴ ∠ABQ = 30°，
∴ ∠ABQ = ∠ACQ = 30°，
∴ A、B、C、Q 四点共圆，
∴ ∠QAC = ∠QBC = 20°，
∴ ∠PAC = 20°，
∴ ∠BPA = 60°。
【附注】对四点共圆不是很熟练的同学也可以用相似三角形来求∠PAC的度数。过程如下（如下图）：
∵∠ABQ =∠ACQ = 30°，∠AEB=∠QEC，
∴△AEB ∽△QEC，
∴AE:EQ=BE:CE，
∵∠AEQ= ∠BEC ，
∴△AEQ ∽ △BEC ，
∴∠QAC =∠QBC = 20°，
∴∠PAC = 20°，
∴∠BPA = 60°。
二、利用角平分线构造全等三角形，结合等腰三角形的性质求角的度数。
【题目】
已知，在△ABC中，AB = AC ，∠BAC = 80°，点P 是△ABC内的一点，∠PBC = 10°，∠PCA = 20°，连接AP ，求∠BAP 的度数。
【本题考点】
等腰三角形的性质（等边对等角），三角形的内角和定理，三角形的外角定理，全等三角形的判定与性质。
【解析】
解：作∠BAC的平分线AD ，延长CP交AD于点D ，连接 BD 。
∵ AB = AC ，∠BAC = 80°，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 50°，
∵ AB= AC ，∠BAD = ∠CAD ，AD = AD ，
∴ △BAD ≌ △CAD（SAS） ，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 20°，
∵ ∠PBC = 10°，
∴ ∠PBD = 50° — 20°— 10°= 20°= ∠ABD ，
∵ ∠PCB = 50°— 20° = 30°，
∴ ∠BPD = 10° + 30° = 40° = ∠BAD ，
在△BPD 和△BAD中，
∠PBD = ∠ABD ，∠BPD = ∠BAD ，BD = BD ,
∴ △BPD ≌ △BAD （AAS），
∴ BP = BA ，
∴ ∠BAP = ∠BPA = （180°— 40°）/ 2 = 70°。