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草根思考|源于教材例题的变式,以相似三角形一章为例

时间:2022-04-18 22:17:24 热议 我要投稿

源于教材例题的变式

所谓“变式”,就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里,应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后,进一步的深化和熟练,使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三,应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。

“相似三角形”一章中存在一些“基本图形”,应用广泛,形式多变,教材例题中也有所呈现,但常常“点到为止”,留白于学生。在教学中,如果以此为契机,总结规律,运用变式,可引发学生深度思考,成为很好的学习素材。

案例(1)

沪教版 九年级(上) 第25页

01

基础图形分析

产生了两组“互依互存”的相似三角形:

图中的等角关系如下:

02

问题变式探究

(1)延长BA、CD交于点E(如下图),此时图中有几组相似三角形?

(2)*四边形ABCD是什么特殊四边形?

答:四边形ABCD是圆内接四边形,又称“点A、B、C、D四点共圆”,如果继续运用圆中的角与圆幂定理等知识,相关问题会更清晰.(注:*表示有超出教材的知识)

案例(2)

沪教版 九年级(上) 第25页

沪教版 九年级(上) 第31页

01

基础图形分析

共边共角型

02

问题变式探究

∠A的平分线,交边PC、BC于点F、点E

(1)图中是否产生新的相似三角形?

答:产生两组新的相似三角形:

△ABF∽△ACE、△APE∽△ACF

关键:图中三组相似等相似比!

(2)图中是否产生新的特殊三角形?

答:产生等腰△CEF

案例(3)

沪教版 九年级(上) 第38页

沪教版 九年级(上) 第39页(第2题)

01

基础图形分析

上述两题的背景均是等腰三角形,都有一个角等于该等腰三角形的底角,不同的是这个“等角”所处的位置

注意到“练习24.5(4)”的第1题,其背景是直角三角形配斜边上的高,也可以视为两组“共边共角型”嵌套,补充一道类似问题供参考.

02

问题变式探究

如果与底角相等的角在等腰三角形形内…

已知,如图,AB=AC,∠AEF=∠C,

请问图中有几组相似三角形?

共有四组相似三角形

如果与底角相等的角在等腰三角形形外?

已知,如图,AB=AC,∠AEF=∠C,

请问图中有几组相似三角形?

(此问留给读者自己思考、摸索)

案例(4)

沪教版 九年级(上) 第32页

01

基础图形分析

如图所示:

△ABC经过了放缩、旋转运动形成了△ADE

△ABC∽△ADE→∠BAC=∠DAE

→∠DAB=∠EAC(AD:AB=AE:AC)

→△ABD∽△ACE

02

问题变式探究

当D、E、C三点共线或点E在BC上时,存在圆内接四边形,由此又会产生几组相似三角形(参考案例一),附一道经典试题,源于本题变式

案例(5)

沪教版 九年级(上) 第38-39页

01

基础图形分析

本例中的“议一议”意在引发学生思考“内接矩形”问题,的关键是:

(1)外围三角形的底和高;

(2)内接矩形的邻边比.

(具体解题过程,请参考书本例题解析)

02

问题变式探究

在原题条件下:

△ABC中,BC=60,BC上高AH=80

问题① 如果四边形DEFG是矩形,其邻边比为2:3,求DG的长

解:设矩形两邻边为2k、3k

若DG=2k,则2k:60=(80-3k):80

若DG=3k,则3k:60=(80-2k):80

(解方程即可)

问题② 在边BC上找点Q,使△DGQ是等腰直角三角形,求DG的长

△DGQ是内接等腰直角三角形

              →内接邻边比为1:1或2:1的矩形

解:若DG是△DGQ的直角边(如左图)

       设DG=k,则k:60=(80-k):80

       若DG是△DGQ的斜边   (如右图)

       设DG=2k,则2k:60=(80-k):80

(解方程即可)

问题③ 在边BC上找点Q,使△DGQ是等边三角形,求DG的长

△DGQ是内接等边三角形

              →内接邻边比为2:√3的矩形

解:设DG=2k,则△DGQ的高为√3k

       则2k:60=(80-√3k):80(如下图)

(解方程即可)