源于教材例题的变式
所谓“变式”,就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里,应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后,进一步的深化和熟练,使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三,应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。
“相似三角形”一章中存在一些“基本图形”,应用广泛,形式多变,教材例题中也有所呈现,但常常“点到为止”,留白于学生。在教学中,如果以此为契机,总结规律,运用变式,可引发学生深度思考,成为很好的学习素材。
案例(1)
沪教版 九年级(上) 第25页
01
基础图形分析
产生了两组“互依互存”的相似三角形:
图中的等角关系如下:
02
问题变式探究
(1)延长BA、CD交于点E(如下图),此时图中有几组相似三角形?
(2)*四边形ABCD是什么特殊四边形?
答:四边形ABCD是圆内接四边形,又称“点A、B、C、D四点共圆”,如果继续运用圆中的角与圆幂定理等知识,相关问题会更清晰.(注:*表示有超出教材的知识)
案例(2)
沪教版 九年级(上) 第25页
沪教版 九年级(上) 第31页
01
基础图形分析
共边共角型
02
问题变式探究
∠A的平分线,交边PC、BC于点F、点E
(1)图中是否产生新的相似三角形?
答:产生两组新的相似三角形:
△ABF∽△ACE、△APE∽△ACF
关键:图中三组相似等相似比!
(2)图中是否产生新的特殊三角形?
答:产生等腰△CEF
案例(3)
沪教版 九年级(上) 第38页
沪教版 九年级(上) 第39页(第2题)
01
基础图形分析
上述两题的背景均是等腰三角形,都有一个角等于该等腰三角形的底角,不同的是这个“等角”所处的位置
注意到“练习24.5(4)”的第1题,其背景是直角三角形配斜边上的高,也可以视为两组“共边共角型”嵌套,补充一道类似问题供参考.
02
问题变式探究
如果与底角相等的角在等腰三角形形内…
已知,如图,AB=AC,∠AEF=∠C,
请问图中有几组相似三角形?
共有四组相似三角形
如果与底角相等的角在等腰三角形形外?
已知,如图,AB=AC,∠AEF=∠C,
请问图中有几组相似三角形?
(此问留给读者自己思考、摸索)
案例(4)
沪教版 九年级(上) 第32页
01
基础图形分析
如图所示:
△ABC经过了放缩、旋转运动形成了△ADE
△ABC∽△ADE→∠BAC=∠DAE
→∠DAB=∠EAC(AD:AB=AE:AC)
→△ABD∽△ACE
02
问题变式探究
当D、E、C三点共线或点E在BC上时,存在圆内接四边形,由此又会产生几组相似三角形(参考案例一),附一道经典试题,源于本题变式
案例(5)
沪教版 九年级(上) 第38-39页
01
基础图形分析
本例中的“议一议”意在引发学生思考“内接矩形”问题,的关键是:
(1)外围三角形的底和高;
(2)内接矩形的邻边比.
(具体解题过程,请参考书本例题解析)
02
问题变式探究
在原题条件下:
△ABC中,BC=60,BC上高AH=80
问题① 如果四边形DEFG是矩形,其邻边比为2:3,求DG的长
解:设矩形两邻边为2k、3k
若DG=2k,则2k:60=(80-3k):80
若DG=3k,则3k:60=(80-2k):80
(解方程即可)
问题② 在边BC上找点Q,使△DGQ是等腰直角三角形,求DG的长
△DGQ是内接等腰直角三角形
→内接邻边比为1:1或2:1的矩形
解:若DG是△DGQ的直角边(如左图)
设DG=k,则k:60=(80-k):80
若DG是△DGQ的斜边 (如右图)
设DG=2k,则2k:60=(80-k):80
(解方程即可)
问题③ 在边BC上找点Q,使△DGQ是等边三角形,求DG的长
△DGQ是内接等边三角形
→内接邻边比为2:√3的矩形
解:设DG=2k,则△DGQ的高为√3k
则2k:60=(80-√3k):80(如下图)
(解方程即可)