一、知识点解析
1. 基本知识
塞瓦(Ceva)定理:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是
塞瓦(Ceva)定理角元形式:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,令∠BAD=α1,∠CAD=α2,∠CBE=β1,∠ABE=β2,
∠ACF=γ1,∠BCF=γ2,则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是
梅涅劳斯(Menelaus)定理:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,则D、E、F共线的充要条件是
2. 基本方法
循环积:塞瓦定理与梅涅劳斯定理的证明都可采用这样一种方法:要证三个比值的积为1,可设法找到三个量(比如线段)x、y、z,使三个比值分别为x/y、y/z、z/x,则它们的积(我们称这种积为循环积)显然为1.
3. 基本问题
利用塞瓦定理与梅涅劳斯定理,常可解决如下一些问题:
(1)证明点共线与线共点;
(2)求线段长(比);
(3)已知有关线段的比,求相应的参数;
(4)证明恒等式;
(5)求满足某种条件的点的轨迹。
这部分主要考察学生对塞瓦定理与梅涅劳斯定理的了解及掌握。塞瓦定理与梅涅劳斯定理是几何部分的“高阶”定理,这部分题目难度大,常与代数等知识点混合在一起考察,需要一定的空间想象能力和知识基础,要在扎实的基础知识基础上,认真学习,多加练习,让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题
例1
证明塞瓦(Ceva)定理:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,则AD、BE、CF三线共点的充要条件是
分析:可以从线段角度出发,找到三条线段x、y、z,使得
从这个角度考虑,可以过E、F、M中的某个点作三角形另两条边的平行线,通过平行线的比例定理进行求解。
另一方面,我们可以考虑通过面积来考虑,注意到△ACO与△BCO有公共边CO,从而将比值转化为面积的比值。
证明:
例2
证明梅涅劳斯(Menelaus)定理:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,则D、E、F共线的充要条件是
分析:目可以从线段角度出发,找到三条线段x、y、z,使得
从这个角度考虑,可以过点C作CG//DF交AB于G,通过平行线的比例定理进行求解。
解答:
例3
例4
例5 (IMO预选题)
如图,设△ABC是等边三角形,P是其内部一点,线段AP、BP、CP依次交三边BC、CA、AB于A1、B1、C1三点。证明A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A.