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初二奥数精讲——第15讲 塞瓦定理与梅列劳斯定理定理(一)

时间:2022-04-19 15:45:30 热评 我要投稿

一、知识点解析

1. 基本知识

塞瓦(Ceva)定理:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是

塞瓦(Ceva)定理角元形式:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,令∠BAD=α1,∠CAD=α2,∠CBE=β1,∠ABE=β2,

∠ACF=γ1,∠BCF=γ2,则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是

梅涅劳斯(Menelaus)定理:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,则D、E、F共线的充要条件是

2. 基本方法

循环积:塞瓦定理与梅涅劳斯定理的证明都可采用这样一种方法:要证三个比值的积为1,可设法找到三个量(比如线段)x、y、z,使三个比值分别为x/y、y/z、z/x,则它们的积(我们称这种积为循环积)显然为1.

3. 基本问题

利用塞瓦定理与梅涅劳斯定理,常可解决如下一些问题:

(1)证明点共线与线共点;

(2)求线段长(比);

(3)已知有关线段的比,求相应的参数;

(4)证明恒等式;

(5)求满足某种条件的点的轨迹。

这部分主要考察学生对塞瓦定理与梅涅劳斯定理的了解及掌握。塞瓦定理与梅涅劳斯定理是几何部分的“高阶”定理,这部分题目难度大,常与代数等知识点混合在一起考察,需要一定的空间想象能力和知识基础,要在扎实的基础知识基础上,认真学习,多加练习,让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

证明塞瓦(Ceva)定理:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,则AD、BE、CF三线共点的充要条件是

分析:可以从线段角度出发,找到三条线段x、y、z,使得

从这个角度考虑,可以过E、F、M中的某个点作三角形另两条边的平行线,通过平行线的比例定理进行求解。

另一方面,我们可以考虑通过面积来考虑,注意到△ACO与△BCO有公共边CO,从而将比值转化为面积的比值。

证明:

例2

证明梅涅劳斯(Menelaus)定理:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点,则D、E、F共线的充要条件是

分析:目可以从线段角度出发,找到三条线段x、y、z,使得

从这个角度考虑,可以过点C作CG//DF交AB于G,通过平行线的比例定理进行求解。

解答:

例3

例4

例5 (IMO预选题)

如图,设△ABC是等边三角形,P是其内部一点,线段AP、BP、CP依次交三边BC、CA、AB于A1、B1、C1三点。证明A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A.