在学习数学史常常知其然不知其所以然.这其实是理解出现了问题，任何一项学习都需要理解，就数学而言，数学理解是否有着更加深刻的内涵呢？
一、数学理解的内涵
数学是对结构和形式的研究， 是一种模式的科学，它可以分为代数、几何、统计等.高度的抽象性与严密的逻辑性是数学学科的基本特点，数学知识并非只是静态的存在，其核心中蕴含着一系列具有延伸性质，并具有相互影响的逻辑关系.从数学知识的特殊性出发，数学理论研究者将数学理解分成两类： “工具性理解”与“关系性理解”.
所谓“工具性理解”，这主要是从语义的角度展开理解，即某数学符号所表征的事物是什么，或某一规律对应的具体操作步骤是怎样的.比如，复数的概念理解就是需要明确复数是什么数， 可以有怎样的形式进行表达，复数的运算法则是怎样的等.
所谓“关系性理解”，这主要是从工具性理解出发，除有关符号意义及替代物结构的认识以外，我们还需认识怎样获取指代物的意义，并且对获取过程的逻辑关系进行理解和认识.比如，针对“直线与平面平行”的工具性理解，就是直线和平面之间不存在公共点；可以通过直线与平面的平行关系，确认直线与直线平行；可以通过直线与直线平行的关系，确认直线与平面平行.而关系性理解，就是建立线面平行、线线平行和面面平行相互之间的关系，并通过有关的定理实现有效建构.比如，已知某直线l和某平面α平行， 则可以确认平面α内有无数条直线和该直线l平行，在平面内选取某点A，则点A与直线l所确定的平面β和平面α的交线即为与该直线l平行的直线.
二、数学理解对数学教学的启示
1. 从系统的层面来整体化设计教学
数学知识的生成往往有两种方式，一种是自下而上的概括生成，比如函数的单调性、奇偶性及复数的有关概念等；另一种是从上而下演绎而成，比如，线面平行的基本性质和判定定理等.在教学过程中，教师只有真正地站在系统的层面对数学课堂进行整体性的设计，才能有效把握知识逻辑方面的起点和增长点，进而让学生明确知识间的有关联系.为了引导学生逐步建立新旧知识之间的联系，教师还要选择适当的教学方法.只有当教师从系统的层面来设计教学，他们才能对学生理解知识的路线进行规划，才能创造机会让学生发现知识之间的衔接点，进而提升学生对知识的理解能力，促进学生对知识的纵横理解.
比如，在对三角函数的教学进行设计时，教师要意识到三角函数的定义是其逻辑起点，无论是同角三角函数的关系，还是诱导公式，亦或是函数图像，这些都是从最基本的定义衍生而来，因此定义应该是以上知识的关键点和增长点.教学过程中，教师应该引导学生从代数与几何两个角度来掌握定义， 并由此生成一系列知识，同时还要帮助学生理顺相关知识之间的关系，深刻领会相关的衔接点.因为建立新知的过程其实也就是巩固和强化旧知的过程， 这不仅有助于学生高效掌握新学内容，也有助于学生更进一步理解旧知识.
教学中，教师只有从整体层面来设计教学，才能有效把握知识的逻辑关联，进而帮助学生形成更加稳固的知识结构，并促进学生知识迁移能力的发展.
2. 关注学生数学知识的形成过程
数学知识之间本就具有极强的逻辑关系，这些关系纵横交织，构成一个严谨的知识网络.因此我们在教学中要踩准逻辑起点，引导学生关注知识的形成过程，这能够帮助学生梳理知识关系，建立良好的认知图式结构.
比如，教师指导学生学习复数概念时，就要明确其逻辑起点应该是实数运算性质，而关键点则为复数a+bi（a，b∈R）的形成过程，教师要让学生在具体操作中进行体会.学生对这些内容进行比较、分析和综合，最终形成对复数基本形式的认识，在此基础上，教师再组织学生对复数和实数进行比较， 启发学生对二者的关系进行研究分析，最终引导学生对复数的二元性进行概括，并对“实部”和“虚部”两个部分进行定义和认识.
3. 开展数学研究方法及思想的教学
数学研究方法及思想是数学知识的灵魂所在，这些因素对于数学知识具有统摄作用.教师在教学中帮助学生习得研究方法，树立数学思想，就能将原本异常庞大的知识结构压缩成一个小小的芯片，存储于学生的大脑中，这样的处理显然会大幅提升学生的脑容量.正如某些数学理论研究者所言：和对数的引入大幅延长数学家的寿命一样，数学研究方法及其思想则有效扩展了大脑的存储空间.
比如，在指导学生认识基本不等式时，我们如果引导学生以数形结合的思想来进行统摄处理，可以让他们概括出线段x+y=a（a∈R）与坐标轴交于A、B两点，则Rt△OAB内接矩形面积有最大值（如图1），当且仅当形成正方形时有最大的面积.而“积定和有最小值”，从数形结合的思想来理解，用双曲线xy=b（b是非零实数）上的某个动点M向着坐标轴构建垂线可得矩形OBMN（如图2所示），矩形的周长有最小值等.
数形结合的思想可以帮助学生沟通基本不等式与函数、解析几何与三角函数之间的关系，学生由此将进一步完善知识之间的关联，在此基础上，学生将整合最值的求解方法，他们对基本不等式的理解也将再上一个新的台阶.
三、提升数学理解的教学设想
1. 通过多元表征来提升理解
学生对知识的获取都是由其心理表征的建立开始的，作为数学知识的代言人，这种心理表征将与其他数学概念搭建联系，从而建立起多元化的心理表征，一方面，将增大知识联结的数量，另一方面，这也有助于学生强化新旧认知的整合度.
比如，有关等差数列的概念认识，我们先让学生从文字角度来记住其概念表征，然后再引导学生从表示式的角度来进行表征，还可以在坐标系中引导学生对其展开表征.这些不同的表征将为等差数列的概念理解创造必要条件，同时不同的表征方式之间又自成体系，方便学生进行图式建构，这样既能增加等差数列有关概念点的联结数量，还能增强联结的强度.
2. 通过变式教学来强化理解
在数学教学中，多元表征的教学有助于学生增加更多的联结数量，而变式教学则能强化联结的强度.比如，在利用基本不等式研究最值问题时，研究的起点是“已知a+b=1（a，b＞0），求ab的最大值”和“已知ab=1（a，b＞0），求a+b的最小值”.我们在变式教学时，可以变形为“已知a+b=1（a，b＞0），求3a+3b的最大值”，还可以变形为“已知lna+lnb=1，求a+b的最小值”等.诸如此类的变式还有很多，教师灵活地进行选择，有效地将其呈现在课堂上，能强化学生对不等式最值问题的理解，而且学生还将结合基本不等式对函数、几何等与之相关知识的联结更加熟悉，这样的处理有助于学生理解水平的提升.
3. 通过反思过程来增进理解
主动而深刻的反思能有效增进学生的理解. 当然，我们也必须认识到：如果只有一次反思，学生很难将有关认识内化为自己的心理结构.因此，教师要让反思成为学生的一种习惯， 而且更要让学生领会反思的本质，即反思不是简单的回头看，它应该是学生以批判性的目光来审视自己的认知过程， 并由此提炼出认知经验，完善认知结构，实现新旧知识的重组与整合，进而搭建成较为完善的网络结构，最终提升学生理解的质量.
综上所述，提升数学理解是我们教学的追求，而要实现这一目的， 我们在教学中要创造广泛联结的空间，为学生创造固化联结的机会， 让学生在应用中深化理解.