如图，在三角形ABC中，AB＜AC＜BC，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且BD=BE=AC，三角形BDE的外接圆与三角形ABC的外接圆交于点F，
求证：BF=AF+CF
分析：这道题可以说是有点难了。根据要证的结论，通常可以采取把AF延长CF的长度，然后判断三角形全等来得证。
如下图，延长AF至点G，使得FG=FC，连接GC、FD。
观察图形，如果能够证明三角形BFD≌三角形AGC，则可得到所要证的结论。
已经有∠FBD=∠GAC（同一个圆中，圆弧FC所对应的圆周角），
有AC=BD（已知条件），
如果能够再证明两个角相等就行，
观察两个等腰三角形BED和FGC，它们的顶角∠EBD=∠GFC（圆的内接四边形BAFC的一个外角等于内对角），所以两个等腰三角形的底角也相等，则有∠BDE=∠FCG，
因为∠EDF=∠EBF=∠ACF，
所以∠BDF=∠ACG，
从而△BFD≌△AGC，即得BF=AG=AF+CF。
小结：此题的难点在于图形有两个圆之后令人眼花缭乱。准确利用“截长补短”的思路，以及冷静分析圆内接四边形的性质、圆周角的判定，证明不算太难。
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